공학수학2 시험 #1 (주) 1998. 9. 25.

1. 다음 물음에 한 문장으로 답하라.

(a) 현대에 와서 공학수학에 영향을 미친 두가지 인자는 무엇이고, 그 결과로 무엇이 가능해졌는가?

(b) 행렬식(determinant)이란 무엇인가?

2. 다음을 계산하라.

(a) 행렬 A와 B가 다음과 같을때, 행렬곱 ATB = ?

2 1 -1 1

A = 1 -1 B = 1 2

3 1 0 1

(b) 행렬 A가 다음과 같을 때, 역행렬 A-1 = ?

2 1 1

A = 1 0 1

3 -1 2

3. 다음 행렬의 계급값(rank)을 구하라

(a) 3 -3 0 (b) 8 1 3 6

1 4 5 0 3 2 2

4 4 8 -8 -1 -3 4

4. 다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하라.

3 -7 1

0 1 0

-1 0 1

5. 행렬을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하라.

(a) Cramer 공식 이용 (b) Gauss의 소거법 이용

x + y - z = 0 x1 + x2 + x3 - x4 = 2

2x + 3y + z = 5 2x1 + x2 - x3 + x4 = 7

3x - y - 2z = 6 x1 - 2x2 + x4 = -1

x2 + x3 + x4 = 9

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공학수학2 시험 #1 (야) 1998. 9. 28.

1. 다음 물음에 한 문장으로 답하라.

(a) 기계공학에 있어서 해석(analysis)의 역할은?

(b) 행렬(matrix)이란 무엇인가?

2. 다음을 계산하라.

(a) 행렬 A가 다음과 같을때, 행렬곱 ATA = ?

2 1

A = 1 -1

3 1

(b) 행렬 A가 다음과 같을 때, 역행렬 A-1 = ?

0 -2 1

A = 1 1 2

0 -1 3

3. 다음 행렬의 계급값(rank)을 구하라

(a) 3 1 4 (b) 6 1 8 3

0 5 8 2 3 0 2

-3 4 4 4 -1 -8 -3

4. 다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하라.

-2 1 0

6 3 0

0 0 -1

5. 행렬을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하라.

(a) Cramer 공식 이용 (b) Gauss의 소거법 이용

x + y - z = 1 x1 + x2 + x3 - x4 = 3

2x - y + z = 5 2x1 + x2 + x4 = 4

x - y = 1 x2 + 2x3 + 2x4 = 7

-x1 + x3 - x4 = 0

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공학수학2 시험 #2 (주) 1998. 11. 13.

1. 다음 사항을 벡터를 이용하여 구하라.

(a) 공간에서 두 평면 ax+3y+2z=2, x-2y+z=5 가 직교하기 위한 a의 값은?

(b) (0,0,0), (2,3,1), (0,-2,4), (-1,1,3) 를 꼭지점으로 하는 사면체의 체적은?

2. 다음 공식을 증명하라.

▽×(u×v) = [(▽·v) + (v·▽)]u - [(▽·u) + (u·▽)]v

3. 일정한 각속도 ω로 회전하는 원판 위에 놓여 있는 어떤 물체의 위치벡터를 r(t) = et b 이라 하 자. 원판의 각속도가 일정하므로 b = i cosωt + j sinωt 로 주어진다. 이 물체의 가속도를 구하고, 구심가속도 성분과 Coriolis가속도 성분을 구분하라.

4. 벡터함수 F = xi + yj + k 에 대하여

(a) potential 함수 φ가 존재함을 증명하라.

(b) potential 함수 φ(x,y,z)를 구하라.

5. 압축성 점성 유체의 운동방정식 (Navier-Stokes eq.)은 벡터 유속 V 및 체적력 f와 스칼라 압력 p로써 다음과 같이 표현된다.

V/∂t + (V·∇)V + 1/ρ ∇p = ν ∇2V + ⅓ ν∇(∇·V) + f

xyz 직교좌표계의 단위벡터 i, j, k와 벡터 성분 (V1, V2, V3; f1, f2, f3)을 사용하고, 주어진 식을 전 개하여 x방향(i 성분)의 운동방정식을 구하라.

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공학수학2 시험 #2 (야) 1998. 11. 16.

1. 다음 사항을 벡터를 이용하여 구하라.

(a) 공간에서 두평면 3x+y+2z=2, x+by+cz=1 이 평행하기 위한 b, c의 값은?

(b) (0,0,0), (2,0,-2), (1,1,1), (-1,2,3)을 꼭지점으로 하는 평행육면체의 체적은?

2. 다음 공식을 증명하라.

▽·(u×v) = (▽×uv - (▽×vu

3. 곡선의 방정식이 다음과 같이 주어져 있다.

r(t) = i cos t + j sin t

점 (1/√2, 1/√2)에서의 접선의 방정식을 구하라.

4. 벡터 함수 F = i - j + k 에 대하여

(a) potential 함수 φ가 존재함을 증명하라.

(b) potential 함수 φ(x,y,z)를 구하라.

5. 압축성 비점성 유체의 운동방정식 (Euler eq.)은 벡터 유속 V 및 체적력 f와 스칼라 압력 p로써 다음과 같이 표현된다.

V/∂t + (V·∇)V + 1/ρ ∇p = f

xyz 직교좌표계의 단위벡터 i, j, k와 벡터 성분 (V1, V2, V3; f1, f2, f3)을 사용하고, 주어진 식을 전 개하여 x방향, y방향, z방향의 운동방정식을 각각 구하라.

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공학수학2 시험 #3 (주) 1998. 12. 18.

1. 벡터함수 F의 퍼텐셜함수 φ는 F=-∇φ의 관계로 표현된다. 다음 벡터함수가 퍼텐셜함수를 갖 기 위한 a의 값을 정하고, 그때의 퍼텐셜함수φ를 구하라.

F = 2xyz3i + (ax2z3-2y)j + 3x2yz2k

2. xy평면에서 y = 2x 인 직선을 따라 (-1,-2)부터 (1, 2)까지의 경로를 곡선 C라고 할 때, 곡선 C 를 r(t) = t i + 2 t j (-1≤t≤1)로 표현할 수 있다. 스칼라 함수 f(x,y) = xy3의 C를 따른 선적분 을 구하라.

3. xy평면에서 원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 따라 시계 반대방향으로 도는 폐곡선을 곡선 C 라 할 때, 문제1에 주어진 벡터함수 F에 대하여 다음 선적분을 계산하라.

c F·dr

4. 평면에서의 Green의 정리를 이용하면, 폐영역의 둘레에 따른 선적분 c(P dx + Q dy) 를 그 영역에 대한 이중적분으로 변환할 수 있다. 직사각형 0≤x≤2, 0≤y≤3 의 둘레를 시계반대방향으 로 따라가는 폐곡선에 대한 다음 선적분을 이중적분 형태로 변환하여 계산하라.

(a)c(2y dx + 5x dy)

(b)c(x2 dx + 2xy dy)

5. Gauss의 Divergence 정리를 이용하면, 벡터함수 F의 입체영역 표면에 대한 면적분 s F·ndA 를 그 영역에 대한 체적적분으로 변환할 수 있다. 곡면 S가 0≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤3 인 직육면 체 표면을 둘러싸는 표면일 때, 다음 면적분을 체적적분으로 변환하여 계산하라.

s (x3 dy dz + y3 dz dx + z3 dx dy)

6. Stokes의 정리를 이용하면, 곡면 S의 경계인 폐곡선 C에 대한 선적분 c F·uds 를 곡면 S에 대한 면적분으로 변환할 수 있다. 곡면 S가 z=2인 평면에서 x2+y2=4 인 원으로 둘러싸인 영역일 때, 그 둘레를 시계반대방향으로 따라가는 곡선 C에 대한 다음 선적분을 면적분으로 변환한 후 계 산하라.

c(ex dx + 2y dy - dz)

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공학수학2 시험 #3 (야) 1998. 12. 21.

1. 벡터함수 F의 퍼텐셜함수 φ는 F=-∇φ의 관계로 표현된다. 다음 벡터함수가 퍼텐셜함수를 갖 기 위한 a의 값을 정하고, 그때의 퍼텐셜함수φ를 구하라.

F = 2xyi + (x2+ayz)j + (y2+1)k

2. xy평면에서 y = 2x 인 직선을 따라 (-1,-2)부터 (1, 2)까지의 경로를 곡선 C라고 할 때, 곡선 C 를 r(t) = t i + 2 t j (-1≤t≤1)로 표현할 수 있다. 스칼라 함수 f(x,y) = x + y2 의 C를 따른 선 적분을 구하라.

3. xy평면에서 원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 따라 시계 반대방향으로 도는 폐곡선을 곡선 C 라 할 때, 문제1에 주어진 벡터함수 F에 대하여 다음 선적분을 계산하라.

c F·dr

4. 평면에서의 Green의 정리를 이용하면 폐영역의 둘레에 따른 선적분 c (P dx + Q dy)를 그 영 역에 대한 이중적분으로 변환할 수 있다. 정사각형 0≤x≤2, 0≤y≤2 의 둘레를 시계반대방향으로 따라가는 폐곡선에 대한 다음 선적분을 이중적분 형태로 변환하여 계산하라.

(a) c(2 dx + 3x dy)

(b) c(4xy dx + y3 dy)

5. Gauss의 Divergence 정리를 이용하면, 벡터함수 F의 입체영역 표면에 대한 면적분 s F·ndA 를 그 영역에 대한 체적적분으로 변환할 수 있다. 곡면 S가 0≤x≤3 0≤y≤2, 0≤z≤1 인 직육면 체 표면을 둘러싸는 표면일 때, 다음 면적분을 체적적분으로 변환하여 계산하라.

s (x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy)

6. Stokes의 정리를 이용하면, 곡면 S의 경계인 폐곡선 C에 대한 선적분 c F·uds 를 곡면 S에 대한 면적분으로 변환할 수 있다. 곡면 S가 z=0인 평면에서 x2+y2=1 인 원으로 둘러싸인 영역일 때, 그 둘레를 시계반대방향으로 따라가는 곡선 C에 대한 다음 선적분을 면적분으로 변환한 후 계 산하라.

c (yz dx + xz dy + xy dz)