°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #1 (ÁÖ) 1997. 9. 30.

1. »ïÂ÷¿ø Á÷±³ÁÂÇ¥°è xyz°ø°£¿¡¼­ ÇÑ Á¡À» (x, y, z)·Î Ç¥±âÇÒ ¶§, Á¡(1, -1, 3)À¸·ÎºÎÅÍ Á¡(3, -3, 2)¿¡ À̸£´Â º¤ÅÍ a°¡ xÃà, yÃà, zÃà°ú °¢°¢ ÀÌ·ç´Â °¢µµ ¥á, ¥â, ¥ãÀÇ ¹æÇâÄÚ»çÀÎ(directional cosine)µéÀ» ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

2. µÎ °³ÀÇ Æò¸é x - z = 1 °ú -x + 2y + 2z = 3 ÀÌ ÀÌ·ç´Â °¢µµ¸¦ ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

3. Æò¸é 3x + y + 2z = 1 °ú x - y + z = -2 °¡ ±³Â÷ÇÏ¿© ÀÌ·ç´Â Á÷¼±¿¡ ÆòÇàÇÑ ´ÜÀ§º¤Å͸¦ ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

4. ¼¼ °³ÀÇ º¤ÅÍ a = 2i + j + mk, b = j - k, c = 2i + j + k °¡ °°Àº Æò¸é¿¡ ÀÖµµ·Ï mÀ» °áÁ¤ÇϽÿÀ. [3Á¡]

5. ±â°è°øÇп¡ À־ °øÇмöÇÐÀÇ Çʿ伺À» °£´ÜÈ÷ ±â¼úÇϽÿÀ. [3Á¡]

--------------------------------------------------------------------------------

°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #1 (¾ß) 1997. 9. 29.

1. »ïÂ÷¿ø Á÷±³ÀÚÇ¥°è xyz°ø°£¿¡¼­ ÇÑ Á¡À» (x, y, z)·Î Ç¥±âÇÒ ¶§, Á¡(1, -1, 3)À¸·ÎºÎÅÍ Á¡(3, -3, 2)¿¡ À̸£´Â º¤ÅÍ aÀÇ Å©±â¸¦ ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

2. ¼öÁ÷¹æÇâÀ¸·Î Áß·ÂÀÌ ÀÛ¿ëÇÏ°í Á߷°¡¼ÓµµÀÇ Å©±â°¡ gÀÎ Áß·ÂÀå¿¡¼­ Áú·® mÀÎ ¹°Ã¼¸¦ ¼öÆò¹æÇâÀ¸·Î °Å¸® d ¸¸Å­ À̵¿½Ãų ¶§ÀÇ ÀÏÀÇ ¾çÀ» º¤ÅÍ ³»ÀûÀ» È°¿ëÇÏ¿© ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

3. Á¡(1, 2, 1)¿¡ Èû F = i - 3j + 2k °¡ ÀÛ¿ëÇÒ ¶§, ¿øÁ¡À» Áß½ÉÀ¸·Î ÇÏ´Â ¸ð¸àÆ® º¤Å͸¦ ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

4. ´ÙÀ½ ³× °³ÀÇ Á¡À» ²ÀÁöÁ¡À¸·Î ÇÏ´Â »ç¸éüÀÇ ºÎÇǸ¦ º¤ÅÍ »ïÁß °ö¼ÀÀ» ÀÌ¿ëÇÏ¿© ±¸ÇϽÿÀ. [3Á¡]

(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)

5. Çö´ë¿¡ ¿Í¼­ °øÇмöÇп¡ ¿µÇâÀ» ¹ÌÄ£ µÎ°¡Áö ÀÎÀÚ°¡ ¹«¾ùÀ̸ç, ±×°á°ú ¹«¾ùÀÌ °¡´ÉÇÏ°Ô µÇ¾ú´ÂÁö °£´ÜÈ÷ ±â¼úÇϽÿÀ. [3Á¡]

================================================================================

°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #2 (ÁÖ) 1997. 11. 4.

1. [4Á¡] Çà·Ä A, B, C°¡ ´ÙÀ½°ú °°À» ¶§ A M B = C ¶ó´Â Çà·ÄÀÇ °öÀÇ °ü°è¸¦ °®´Â Çà·Ä MÀ» ±¸ÇϽÿÀ.

2 1 1 3 1 1 1

A = 1 1 0 B = C = 2 2

0 0 1 1 1 1 1

2. [3Á¡] ´ÙÀ½ Çà·ÄÀÇ ¿ªÇà·ÄÀ» ±¸ÇϽÿÀ

2 0 0

0 cos¥è -sin¥è

0 sin¥è cos¥è

3. [3Á¡] ´ÙÀ½ Çà·Ä¿¡ ´ëÀÀµÇ´Â ¼±Çüº¯È¯Àº ¹«¾ùÀΰ¡?

0 -1

1 0

4. 3¿ø 1Â÷ ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀÇ °è¼öµé°ú ¿ìº¯ÀÇ Ç×µé·Î ÀÌ·ç¾îÁø Çà·ÄÀÌ ´ÙÀ½°ú °°´Ù.

0 a 1 b

a 0 b 1

a a 2 2

4.1 [4Á¡] À¯ÀÏÇÑ ÇØ°¡ Á¸ÀçÇÒ a ¶Ç´Â bÀÇ Á¶°ÇÀ» ±¸ÇÏ°í, ±×¶§ÀÇ Çظ¦ Cramer¹ýÄ¢À» »ç¿ëÇÏ¿© ±¸ÇϽÿÀ.

4.2 [2Á¡] ÇϳªÀÇ ¹ÌÁö¼ö°¡ °áÁ¤µÇÁö ¾ÊÀº ÇüÅ·ΠÁ¸ÀçÇÒ a ¶Ç´Â bÀÇ Á¶°ÇÀ» ±¸ÇÏ°í, ±×¶§ÀÇ Çظ¦ Cramer¹ýÄ¢À» »ç¿ëÇÏ¿© ±¸ÇϽÿÀ.

4.3 [2Á¡] µÎ °³ÀÇ ¹ÌÁö¼ö°¡ °áÁ¤µÇÁö ¾ÊÀº ÇüÅ·ΠÇØ°¡ Á¸ÀçÇÒ a ¶Ç´Â bÀÇ Á¶°ÇÀ» ±¸ÇÏ°í, ±×¶§ÀÇ Çظ¦ ±¸ÇϽÿÀ.

4.4 [2Á¡] ÇØ°¡ Á¸ÀçÇÏÁö ¾ÊÀ» a ¶Ç´Â bÀÇ Á¶°ÇÀ» ±¸ÇϽÿÀ.

--------------------------------------------------------------------------------

°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #2 (¾ß) 1997. 10. 27.

1. [9Á¡] ´ÙÀ½°ú °°Àº 3¿ø 1Â÷ ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀÇ °è¼öµé·Î ÀÌ·ç¾îÁö´Â Çà·ÄÀÇ rank¸¦ ±¸ÇÏ°í, À̶§¿¡´Â ¸î °³ÀÇ ¹ÌÁö¼öÀÇ °ªÀÌ °áÁ¤µÇÁö ¾ÊÀº ÇüÅ·ΠÇØ°¡ ±¸ÇØÁö´Â Áö¸¦ ¹àÈù ´ÙÀ½, Cramer¹ýÄ¢À» »ç¿ëÇÏ¿© ÀϹÝÇظ¦ ±¸ÇϽÿÀ.

2 x1 - x2 - x3 = 2

x1 + 2 x2 + x3 = 2

4 x1 - 7 x2 - 5 x3 = 2

2. [3Á¡] ´ÙÀ½ Çà·ÄÀÇ ¿ªÇà·ÄÀ» ±¸ÇϽÿÀ.

2 1

5 4

3. [5Á¡] Çà·Ä A¿Í B°¡ ´ÙÀ½°ú °°À» ¶§ (1) | A B | = | A | | B | ¿Í (2) | At | = | A | ÀÓÀ» º¸À̽ÿÀ.

A = a b B = e f

c d g h

4. [3Á¡] ´ÙÀ½ ¼±Çüº¯È¯¿¡ ´ëÀÀµÇ´Â Çà·ÄÀ» ãÀ¸½Ã¿À.

y1 = -x1 + 2 x2 + x3

y2 = 2 x1 - x2

y3 = 3 x1 + 2 x3

================================================================================

°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #3 (ÁÖ) 1997. 11. 25.

1. ¡Ô¡¤(x v)

1.1 [2Á¡] ÁÖ¾îÁø º¤ÅÍ ¹ÌºÐÀ» º¤ÅÍÀÇ ¼ººÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏÁö ¸»°í Àü°³ÇÏ¿© °£´ÜÈ÷ ÇϽÿÀ.

1.2 [2Á¡] ÁÖ¾îÁø º¤ÅÍ ¹ÌºÐÀ» i, j, k ¹æÇâÀÇ º¤ÅÍ ¼ººÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏ¿© Àü°³ÇÑ ÈÄ i, j, k ¹æÇ⺰·Î Á¤¸®ÇϽÿÀ.

2. [3Á¡] ¡Ô¡¿(u¡¿v) = v¡¤¡Ôu - u¡¤¡Ôv + u(¡Ô¡¤v) - v(¡Ô¡¤u) ÀÓÀ» Áõ¸íÇϽÿÀ.

3. [4Á¡] A x = ¥ë x (A´Â n¡¿n ½Ç¼ö ´ëĪÇà·Ä)ÀÇ ÇØ(°íÀ¯°ª, °íÀ¯º¤ÅÍ) Áß (¥ë1, x1), (¥ë2, x2)¿¡ ´ëÇؼ­ ¥ë1¡Á¥ë2 À̸é x1¡Ñx2 ÀÓÀ» Áõ¸íÇϽÿÀ.

4. [4Á¡] °¢ º¯ÀÇ ±æÀÌ u, v, w°¡ ½Ã°£ t¿¡ µû¶ó¼­ ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ º¯È­ÇÏ´Â Á÷À°¸éüÀÇ °í¹«Ç³¼±ÀÌ ÀÖÀ» ¶§, ±× ºÎÇÇ´Â ÀÏÁ¤ÇÏ´Ù¸é »ó¼ö a´Â ¾ó¸¶Àΰ¡?

u(t) = 5 + a t, v(t) = 10 - 2 t, w(t) = 20 + t

--------------------------------------------------------------------------------

°øÇмöÇÐ2 ½ÃÇè #3 (¾ß) 1997. 9. 30.

1. ¡Ô¡¿(x v)

1.1 [2Á¡] ÁÖ¾îÁø º¤ÅÍ ¹ÌºÐÀ» º¤ÅÍÀÇ ¼ººÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏÁö ¸»°í Àü°³ÇÏ¿© °£´ÜÈ÷ ÇϽÿÀ.

1.2 [2Á¡] ÁÖ¾îÁø º¤ÅÍ ¹ÌºÐÀ» i, j, k ¹æÇâÀÇ º¤ÅÍ ¼ººÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏ¿© Àü°³ÇÑ ÈÄ i, j, k ¹æÇ⺰·Î Á¤¸®ÇϽÿÀ.

2. [3Á¡] ¡Ô¡¤(u¡¿v) = (¡Ô¡¿u)¡¤v - (¡Ô¡¿v)¡¤u ÀÓÀ» Áõ¸íÇϽÿÀ.

3. [4Á¡] °î¸é x3 - xyz + z3 = 1 ÀÇ Á¡ (1, 1, 1)¿¡¼­ ±× °î¸é¿¡ ¼öÁ÷ÀÎ ´ÜÀ§º¤Å͸¦ ±¸ÇϽÿÀ.

4. x1 - 2 x2 = ¥ë x1

x1 - x2 = ¥ë x2

4.1 [2Á¡] À§ÀÇ ¿¬¸³¹æÁ¤½Ä¿¡¼­ 0ÀÌ ¾Æ´Ñ ½Ç¼ö(real number)ÇØÀÇ Á¸Àç ¿©ºÎ¸¦ È®ÀÎÇÏ°í, Á¸ÀçÇϸé ÇØ x¸¦ ±¸ÇϽÿÀ.

4.2 [2Á¡] À§ÀÇ ¿¬¸³¹æÁ¤½Ä¿¡¼­ 0ÀÌ ¾Æ´Ñ º¹¼Ò¼ö Çظ¦ ±¸ÇϽÿÀ.

================================================================================

°øÇмöÇÐ2 Çб⸻½ÃÇè (ÁÖ) 1997. 12. 12.

1. [5Á¡] ¾ÐÃ༺ Á¡¼º À¯Ã¼ÀÇ ¿îµ¿¹æÁ¤½Ä (Navier-Stokes equation)Àº º¤ÅÍ À¯¼Ó V ¹× üÀû·Â f¿Í ½ºÄ®¶ó ¾Ð·Â p·Î½á ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Ç¥ÇöµÈ´Ù.

¡ÓV/¡Ót + (V¡¤¡Ô)V + 1/¥ñ ¡Ôp = ¥í ¡Ô2V + ¨÷ ¥í¡Ô(¡Ô¡¤V) + f

xyz Á÷±³ÁÂÇ¥°èÀÇ ´ÜÀ§º¤ÅÍ i, j, k¿Í º¤ÅÍ ¼ººÐ (V1, V2, V3; f1, f2, f3)À» »ç¿ëÇÏ°í ÁÖ¾îÁø ½ÄÀ» Àü°³ÇÏ¿© x¹æÇâ(i¼ººÐ)ÀÇ ¿îµ¿¹æÁ¤½ÄÀ» ±¸ÇϽÿÀ.

2. [5Á¡] °î¼± C°¡ xyz Á÷±³ÁÂÇ¥°è¿¡¼­ x = t, y = 3 t2, z = 6 t3 ·Î Ç¥ÇöµÇ°í Á¡(0, 0, 0)°ú (1, 3, 6) »çÀÌÀÇ ±¸°£ÀÏ ¶§, ´ÙÀ½ ¼±ÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ.

¡òc xyz ds

3. º¤ÅÍÀå F = 2xyi + (x2+2yz)j + (y2+1)k ¿¡ ´ëÇÏ¿©

3.1 [3Á¡] ÆÛÅÙ¼ÈÇÔ¼ö°¡ Á¸ÀçÇÏ´ÂÁö ¹àÈ÷°í, Á¸ÀçÇϸé ÆÛÅÙ¼ÈÇÔ¼ö¸¦ ±¸ÇϽÿÀ.

3.2 [2Á¡] °î¼± C°¡ y = x2, z = x3 À¸·Î Ç¥ÇöµÇ°í Á¡(0, 0, 0)°ú (1, 1, 1) »çÀÌÀÇ ±¸°£ÀÏ ¶§ ´ÙÀ½ ¼±ÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ. ¡òc F¡¤dr

4. [5Á¡] x2/a2 + y2/b2 = 1 ·Î Ç¥ÇöµÇ´Â Ÿ¿øÇü ¸é¿¡¼­ xÃà¿¡ ´ëÇÑ ¸éÀû °ü¼º ´É·ü Ix´Â ´ÙÀ½½Ä°ú °°´Ù. Ix = ¡ós y2 dx dy ¿©±â¼­ x = a r cos¥è, y = b r sin¥è (0¡Âr¡Â1, 0¡Â¥è¡Â2¥ð)·Î º¯¼öº¯È¯À» ÇÏ¿© Ix¸¦ °è»êÇϽÿÀ.

5. [5Á¡] Divergence Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é ÀÔüµµÇüÀÇ Ç¥¸é¿¡ ´ëÇÑ ¸éÀûºÐ ¡ós V¡¤n dA¸¦ üÀû¿¡ ´ëÇÑ »ïÁßÀûºÐÀ¸·Î ´ëüÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. °î¸é S°¡ 0¡Âx¡Â1, 0¡Ây¡Â1, 0¡Âz¡Â1 ·Î ÁÖ¾îÁö´Â ÀÔ¹æüÀÇ Ç¥¸é À̶ó ÇÒ ¶§, ¸éÀûºÐ ¡ós (x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy)¸¦ üÀû¿¡ ´ëÇÑ »ïÁßÀûºÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏ°í, ±× »ïÁßÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ.

6. [5Á¡] StokesÀÇ Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é °î¸é SÀÇ °æ°èÀÎ Æó°î¼± C¿¡ ´ëÇÑ ¼±ÀûºÐ ¢±c V¡¤dr¸¦ °î¸é S¿¡ ´ëÇÑ ¸éÀûºÐÀ¸·Î ´ëüÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. Æò¸é S°¡ Á¡ P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0), P3(0, 0, 1) ·Î ÀÌ·ç¾îÁö´Â »ï°¢ÇüÀÌ°í °î¼± C´Â ±× »ï°¢ÇüÀÇ µÑ·¹ÀÏ ¶§, ¼±ÀûºÐ ¢±c [(1+y)z dx + (1+z)x dy + (1+x)y dz]¸¦ ¸éÀûºÐ ÇüÅ·Π¹Ù²Ù°í ±× ¸éÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ.

--------------------------------------------------------------------------------

°øÇмöÇÐ2 Çб⸻½ÃÇè (¾ß) 1997. 12. 13.

1. [5Á¡] ¾ÐÃ༺ ºñÁ¡¼º À¯Ã¼ÀÇ ¿îµ¿¹æÁ¤½ÄÀº º¤ÅÍ À¯¼Ó V ¹× üÀû·Â f¿Í ½ºÄ®¶ó ¾Ð·Â p·Î½á ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Ç¥ÇöµÈ´Ù.

¡ÓV/¡Ót + (V¡¤¡Ô)V = -1/¥ñ ¡Ôp + f

xyzÁ÷±³ÁÂÇ¥°èÀÇ ´ÜÀ§º¤ÅÍ i, j, k¿Í º¤ÅÍ ¼ººÐ (V1, V2, V3; f1, f2, f3)À» »ç¿ëÇÏ¿© ÁÖ¾îÁø ½ÄÀ» Àü°³ÇÑ ÈÄ ¼¼ ¹æÇ⺰ ¿îµ¿¹æÁ¤½ÄÀ» °¢°¢ ±¸ÇϽÿÀ.

2. [5Á¡] °î¼± C°¡ xyzÁ÷±³ÁÂÇ¥°è¿¡¼­ z=1 ÀÎ Æò¸é¿¡¼­ x2 + y2 = 1 ·Î Ç¥ÇöµÇ´Â ¿øÀÏ ¶§, ´ÙÀ½ ¼±ÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ. ¡òc (x+y+z) ds

3. [5Á¡] GreenÀÇ Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é ÁßÀûºÐ ¡óR(¡Óg/¡Óx - ¡Óf/¡Óy)dx dy ¸¦ ¿µ¿ª RÀÇ °æ°èÀÎ °î¼± C¿¡ ´ëÇÑ ¼±ÀûºÐÀ¸·Î ¹Ù²Ü ¼ö ÀÖ´Ù. À̸¦ ÀÌ¿ëÇÏ°í f(x,y) = -y/2, g(x,y) = x/2 ·Î ÇÏ¿© ¿µ¿ª RÀÇ ¸éÀûÀ» ¼±ÀûºÐ ÇüÅ·ΠǥÇöÇϽÿÀ. ¶ÇÇÑ ±× °á°ú¸¦ È°¿ëÇÏ¿© Ÿ¿ø (x2/a2) + (y2/b2) = 1 ÀÇ ¸éÀûÀ» °è»êÇϽÿÀ.

4. [5Á¡] °î¸é S°¡ z = xy + 1 ·Î Ç¥ÇöµÇ°í ¹üÀ§°¡ 0¡Âx¡Â1, 0¡Ây¡Â1 ÀÏ ¶§ F = xi + yj + zk ¿¡ ´ëÇÑ ´ÙÀ½ ¸éÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ. ¡ós F¡¤n dA

5. [5Á¡] Divergence Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é ÀÔüµµÇüÀÇ Ç¥¸é¿¡ ´ëÇÑ ¸éÀûºÐ ¡ós V¡¤n dA¸¦ üÀû¿¡ ´ëÇÑ »ïÁßÀûºÐÀ¸·Î ´ëüÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. °î¸é S°¡ 0¡Âx¡Â3, 0¡Ây¡Â2, 0¡Âz¡Â1 ·Î ÁÖ¾îÁö´Â ÀÔ¹æüÀÇ Ç¥¸é À̶ó ÇÒ ¶§, ¸éÀûºÐ ¡ós xyz dy dz ¸¦ üÀû¿¡ ´ëÇÑ »ïÁßÀûºÐÀ¸·Î Ç¥ÇöÇÏ°í, ±× »ïÁßÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ.

6. [5Á¡] StokesÀÇ Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é °î¸é SÀÇ °æ°èÀÎ Æó°î¼± C¿¡ ´ëÇÑ ¼±ÀûºÐ ¢±c V¡¤dr¸¦ °î¸é S¿¡ ´ëÇÑ ¸éÀûºÐÀ¸·Î ´ëüÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. Æò¸é S°¡ Á¡ P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0), P3(0, 0, 1) ·Î ÀÌ·ç¾îÁö´Â »ï°¢ÇüÀÌ°í °î¼± C´Â ±× »ï°¢ÇüÀÇ µÑ·¹ÀÏ ¶§, ¼±ÀûºÐ ¢±c (z dx + x dy + y dz) ¸¦ ¸éÀûºÐ ÇüÅ·Π¹Ù²Ù°í ±× ¸éÀûºÐÀ» °è»êÇϽÿÀ.