공학수학2 시험 #1 (주) 1997. 9. 30.

1. 삼차원 직교좌표계 xyz공간에서 한 점을 (x, y, z)로 표기할 때, 점(1, -1, 3)으로부터 점(3, -3, 2)에 이르는 벡터 a가 x축, y축, z축과 각각 이루는 각도 α, β, γ의 방향코사인(directional cosine)들을 구하시오. [3점]

2. 두 개의 평면 x - z = 1 과 -x + 2y + 2z = 3 이 이루는 각도를 구하시오. [3점]

3. 평면 3x + y + 2z = 1 과 x - y + z = -2 가 교차하여 이루는 직선에 평행한 단위벡터를 구하시오. [3점]

4. 세 개의 벡터 a = 2i + j + mk, b = j - k, c = 2i + j + k 가 같은 평면에 있도록 m을 결정하시오. [3점]

5. 기계공학에 있어서 공학수학의 필요성을 간단히 기술하시오. [3점]

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공학수학2 시험 #1 (야) 1997. 9. 29.

1. 삼차원 직교자표계 xyz공간에서 한 점을 (x, y, z)로 표기할 때, 점(1, -1, 3)으로부터 점(3, -3, 2)에 이르는 벡터 a의 크기를 구하시오. [3점]

2. 수직방향으로 중력이 작용하고 중력가속도의 크기가 g인 중력장에서 질량 m인 물체를 수평방향으로 거리 d 만큼 이동시킬 때의 일의 양을 벡터 내적을 활용하여 구하시오. [3점]

3. 점(1, 2, 1)에 힘 F = i - 3j + 2k 가 작용할 때, 원점을 중심으로 하는 모멘트 벡터를 구하시오. [3점]

4. 다음 네 개의 점을 꼭지점으로 하는 사면체의 부피를 벡터 삼중 곱셈을 이용하여 구하시오. [3점]

(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)

5. 현대에 와서 공학수학에 영향을 미친 두가지 인자가 무엇이며, 그결과 무엇이 가능하게 되었는지 간단히 기술하시오. [3점]

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공학수학2 시험 #2 (주) 1997. 11. 4.

1. [4점] 행렬 A, B, C가 다음과 같을 때 A M B = C 라는 행렬의 곱의 관계를 갖는 행렬 M을 구하시오.

2 1 1 3 1 1 1

A = 1 1 0 B = C = 2 2

0 0 1 1 1 1 1

2. [3점] 다음 행렬의 역행렬을 구하시오

2 0 0

0 cosθ -sinθ

0 sinθ cosθ

3. [3점] 다음 행렬에 대응되는 선형변환은 무엇인가?

0 -1

1 0

4. 3원 1차 연립방정식의 계수들과 우변의 항들로 이루어진 행렬이 다음과 같다.

0 a 1 b

a 0 b 1

a a 2 2

4.1 [4점] 유일한 해가 존재할 a 또는 b의 조건을 구하고, 그때의 해를 Cramer법칙을 사용하여 구하시오.

4.2 [2점] 하나의 미지수가 결정되지 않은 형태로 존재할 a 또는 b의 조건을 구하고, 그때의 해를 Cramer법칙을 사용하여 구하시오.

4.3 [2점] 두 개의 미지수가 결정되지 않은 형태로 해가 존재할 a 또는 b의 조건을 구하고, 그때의 해를 구하시오.

4.4 [2점] 해가 존재하지 않을 a 또는 b의 조건을 구하시오.

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공학수학2 시험 #2 (야) 1997. 10. 27.

1. [9점] 다음과 같은 3원 1차 연립방정식의 계수들로 이루어지는 행렬의 rank를 구하고, 이때에는 몇 개의 미지수의 값이 결정되지 않은 형태로 해가 구해지는 지를 밝힌 다음, Cramer법칙을 사용하여 일반해를 구하시오.

2 x1 - x2 - x3 = 2

x1 + 2 x2 + x3 = 2

4 x1 - 7 x2 - 5 x3 = 2

2. [3점] 다음 행렬의 역행렬을 구하시오.

2 1

5 4

3. [5점] 행렬 A와 B가 다음과 같을 때 (1) | A B | = | A | | B | 와 (2) | At | = | A | 임을 보이시오.

A = a b B = e f

c d g h

4. [3점] 다음 선형변환에 대응되는 행렬을 찾으시오.

y1 = -x1 + 2 x2 + x3

y2 = 2 x1 - x2

y3 = 3 x1 + 2 x3

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공학수학2 시험 #3 (주) 1997. 11. 25.

1. ∇·(x v)

1.1 [2점] 주어진 벡터 미분을 벡터의 성분으로 표현하지 말고 전개하여 간단히 하시오.

1.2 [2점] 주어진 벡터 미분을 i, j, k 방향의 벡터 성분으로 표현하여 전개한 후 i, j, k 방향별로 정리하시오.

2. [3점] ∇×(u×v) = v·∇u - u·∇v + u(∇·v) - v(∇·u) 임을 증명하시오.

3. [4점] A x = λ x (A는 n×n 실수 대칭행렬)의 해(고유값, 고유벡터) 중 (λ1, x1), (λ2, x2)에 대해서 λ1≠λ2 이면 x1x2 임을 증명하시오.

4. [4점] 각 변의 길이 u, v, w가 시간 t에 따라서 다음과 같이 변화하는 직육면체의 고무풍선이 있을 때, 그 부피는 일정하다면 상수 a는 얼마인가?

u(t) = 5 + a t, v(t) = 10 - 2 t, w(t) = 20 + t

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공학수학2 시험 #3 (야) 1997. 9. 30.

1. ∇×(x v)

1.1 [2점] 주어진 벡터 미분을 벡터의 성분으로 표현하지 말고 전개하여 간단히 하시오.

1.2 [2점] 주어진 벡터 미분을 i, j, k 방향의 벡터 성분으로 표현하여 전개한 후 i, j, k 방향별로 정리하시오.

2. [3점] ∇·(u×v) = (∇×uv - (∇×vu 임을 증명하시오.

3. [4점] 곡면 x3 - xyz + z3 = 1 의 점 (1, 1, 1)에서 그 곡면에 수직인 단위벡터를 구하시오.

4. x1 - 2 x2 = λ x1

x1 - x2 = λ x2

4.1 [2점] 위의 연립방정식에서 0이 아닌 실수(real number)해의 존재 여부를 확인하고, 존재하면 해 x를 구하시오.

4.2 [2점] 위의 연립방정식에서 0이 아닌 복소수 해를 구하시오.

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공학수학2 학기말시험 (주) 1997. 12. 12.

1. [5점] 압축성 점성 유체의 운동방정식 (Navier-Stokes equation)은 벡터 유속 V 및 체적력 f와 스칼라 압력 p로써 다음과 같이 표현된다.

V/∂t + (V·∇)V + 1/ρ ∇p = ν ∇2V + ⅓ ν∇(∇·V) + f

xyz 직교좌표계의 단위벡터 i, j, k와 벡터 성분 (V1, V2, V3; f1, f2, f3)을 사용하고 주어진 식을 전개하여 x방향(i성분)의 운동방정식을 구하시오.

2. [5점] 곡선 C가 xyz 직교좌표계에서 x = t, y = 3 t2, z = 6 t3 로 표현되고 점(0, 0, 0)과 (1, 3, 6) 사이의 구간일 때, 다음 선적분을 계산하시오.

c xyz ds

3. 벡터장 F = 2xyi + (x2+2yz)j + (y2+1)k 에 대하여

3.1 [3점] 퍼텐셜함수가 존재하는지 밝히고, 존재하면 퍼텐셜함수를 구하시오.

3.2 [2점] 곡선 C가 y = x2, z = x3 으로 표현되고 점(0, 0, 0)과 (1, 1, 1) 사이의 구간일 때 다음 선적분을 계산하시오. c F·dr

4. [5점] x2/a2 + y2/b2 = 1 로 표현되는 타원형 면에서 x축에 대한 면적 관성 능률 Ix는 다음식과 같다. Ix = s y2 dx dy 여기서 x = a r cosθ, y = b r sinθ (0≤r≤1, 0≤θ≤2π)로 변수변환을 하여 Ix를 계산하시오.

5. [5점] Divergence 정리에 따르면 입체도형의 표면에 대한 면적분 s V·n dA를 체적에 대한 삼중적분으로 대체할 수 있다. 곡면 S가 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 로 주어지는 입방체의 표면 이라 할 때, 면적분 s (x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy)를 체적에 대한 삼중적분으로 표현하고, 그 삼중적분을 계산하시오.

6. [5점] Stokes의 정리에 따르면 곡면 S의 경계인 폐곡선 C에 대한 선적분 c V·dr를 곡면 S에 대한 면적분으로 대체할 수 있다. 평면 S가 점 P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0), P3(0, 0, 1) 로 이루어지는 삼각형이고 곡선 C는 그 삼각형의 둘레일 때, 선적분 c [(1+y)z dx + (1+z)x dy + (1+x)y dz]를 면적분 형태로 바꾸고 그 면적분을 계산하시오.

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공학수학2 학기말시험 (야) 1997. 12. 13.

1. [5점] 압축성 비점성 유체의 운동방정식은 벡터 유속 V 및 체적력 f와 스칼라 압력 p로써 다음과 같이 표현된다.

V/∂t + (V·∇)V = -1/ρ ∇p + f

xyz직교좌표계의 단위벡터 i, j, k와 벡터 성분 (V1, V2, V3; f1, f2, f3)을 사용하여 주어진 식을 전개한 후 세 방향별 운동방정식을 각각 구하시오.

2. [5점] 곡선 C가 xyz직교좌표계에서 z=1 인 평면에서 x2 + y2 = 1 로 표현되는 원일 때, 다음 선적분을 계산하시오. c (x+y+z) ds

3. [5점] Green의 정리에 따르면 중적분 R(∂g/∂x - ∂f/∂y)dx dy 를 영역 R의 경계인 곡선 C에 대한 선적분으로 바꿀 수 있다. 이를 이용하고 f(x,y) = -y/2, g(x,y) = x/2 로 하여 영역 R의 면적을 선적분 형태로 표현하시오. 또한 그 결과를 활용하여 타원 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 의 면적을 계산하시오.

4. [5점] 곡면 S가 z = xy + 1 로 표현되고 범위가 0≤x≤1, 0≤y≤1 일 때 F = xi + yj + zk 에 대한 다음 면적분을 계산하시오. s F·n dA

5. [5점] Divergence 정리에 따르면 입체도형의 표면에 대한 면적분 s V·n dA를 체적에 대한 삼중적분으로 대체할 수 있다. 곡면 S가 0≤x≤3, 0≤y≤2, 0≤z≤1 로 주어지는 입방체의 표면 이라 할 때, 면적분 s xyz dy dz 를 체적에 대한 삼중적분으로 표현하고, 그 삼중적분을 계산하시오.

6. [5점] Stokes의 정리에 따르면 곡면 S의 경계인 폐곡선 C에 대한 선적분 c V·dr를 곡면 S에 대한 면적분으로 대체할 수 있다. 평면 S가 점 P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0), P3(0, 0, 1) 로 이루어지는 삼각형이고 곡선 C는 그 삼각형의 둘레일 때, 선적분 c (z dx + x dy + y dz) 를 면적분 형태로 바꾸고 그 면적분을 계산하시오.